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ジャパネット たかた 完全とは？

完全数（かんぜんすう）とは、その数自身を除く約数の和が、その数自身と等しい自然数のことである。例えば 6 (=1+2+3)、28 (=1+2+4+7+14) が完全数である。ピュタゴラス学派は、最初の完全数が 6 なのは「神が6日間で世界を創造した」こと（天地創造）、次の完全数が 28 なのは「月の公転周期が約28日である」ことと関連があると考えていたとされる。2008年9月現在、発見されている完全数はメルセンヌ素数と同じく46個である。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、偶数の完全数が無数に存在するか、奇数の完全数が一つでも存在するか、という問題は未解決である。
完全数の定義より、自分自身を含めて約数を足し合わせると、元の数の2倍になる。すなわち、n が完全数であるとは、約数関数 σ に対して σ(n) = 2n を満たすことであると表現してもよい。
その後、オイラーが登場するまでは、212 (213 - 1) = 33550336, 216(217 - 1) = 8589869056, 218(219 - 1) = 137438691328 が完全数であることが発見されただけであった。オイラーは、全ての偶数の完全数が、メルセンヌ素数に対応するものであることを示した。これによって、偶数の完全数を探すことは、メルセンヌ素数を探すことと同等であることが分かった。また、オイラーは 231 - 1 が素数であることを確かめ、その結果 230(231 - 1) が完全数であることを示した。
リュカは19年かけて39桁の自然数 2127 - 1 が素数であることを確かめ、その結果、77桁の完全数を発見した。2127 - 1 は、手計算で発見された素数のうち、最大のものである。現代においては、巨大素数の発見にはコンピュータが用いられる。特に、メルセンヌ素数の発見においては、分散コンピューティングによるプロジェクト GIMPS が有名であり、35個目以降の完全数の発見は全て GIMPS によるものである。
となる。したがって 2n-1 × M はその数自身を除く約数の総和がその数自身に等しい完全数である。偶数の完全数は全てこの形のものであるが、無数に存在するか否かは未解決である。
奇数の完全数が存在するか否かは未解決であるが、数多くの研究がなされており、もし奇数の完全数 N が存在すれば、N は以下の各条件を満たさなければならないことが知られている。
これは2006年に発表されたものであるが、「7個」の場合は1972年までにカール・ポメランスによって示され、「8個」の場合は1980年頃に Chein[13] と Hagis[14] によってほぼ同時に示されており、その後多くの数学者の努力[15]にもかかわらず、26年もの間「9個」の場合は示されなかった。
N が 3 で割り切れない場合は、少なくとも12個の素因数を持つ[12]。3 でも 5 でも割り切れない場合は15個以上の、3 でも 5 でも 7 でも割り切れない場合は27個以上の相異なる素因数を持つ[16]。
これは2006年に発表されたものであるが、より古い下界としては2003年の 107 [19]や、1998年の 106 [20]などがある。
約数の和を考えることで特徴付けられる数の種類には他にも次のようなものがある。完全数と合わせて、これらの名称には古代ギリシャの数秘学の影響が見られる。
準完全数とは、約数の和が 2n + 1 に等しい数 n である。これは過剰数である。そのような数はいまだに見つかっていないが、存在するならばそれは奇数の平方数で 1035 より大きく、少なくとも7つの約数を持つということが示されている。
概完全数とは約数の和が 2n - 1 に等しい数 n である。これは不足数である。2k (1, 2, 4, 8, 16, …) の形をした自然数はこの条件を満たしているが、この形で表される自然数以外でこの条件を満たすものが存在するのかどうかは知られていない。
約数の和が元の数の倍数に等しい数を倍積完全数という。特に、それがk倍に等しいものをk倍完全数という。完全数とは2倍完全数のことである。
小川洋子の小説『博士の愛した数式』（2003年）では登場人物の「博士」が阪神タイガースの江夏豊投手のファンであったことの理由として江夏の背番号が28であったことをあげ、その際に完全数の説明がなされている。
[ ジャパネット たかたの 完全参考サイト]　 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0

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