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ジャパネット たかた 数値解析 - Wikipedia
ジャパネット たかた パソコンの 数値とは 数値解析は、このような実用的計算の長い伝統に続くものである。バビロニアの の近似のように、現代の数値解析も正確な解を求めようとするものではない。何故なら、正確な解は実際に求めるのは不可能だからである。その代わり、数値解析の多くはある程度の誤差の範囲内の近似解を求めようとする。
数値解析は工学および自然科学のあらゆる分野で応用され、21世紀に入ってからは生命科学や芸術でも科学技術計算が応用されるようになってきた。常微分方程式は天体（惑星、恒星、小宇宙）の軌道の計算に現れる。資産管理には最適化が適用可能である。数値線形代数は量子物理学の基本である。確率微分方程式とマルコフ連鎖は医学や生物学における生体細胞のシミュレーションの基本である。
コンピュータが発明される以前、数値手法は巨大な数表を人間が内挿するのが主だった。現在では、数表が使われることはほとんどなくなり、コンピュータで必要な関数を計算できるようになった。内挿アルゴリズムは、微分方程式などを解く際にソフトウェアが利用する。
ある企業が歯磨きのテレビコマーシャルを制作しようとしたとき、5本のコマーシャルを作ってフォーカスグループで最良のものを選ぼうとしているとする。この場合、モンテカルロ法を応用できる。
自動車会社は自動車の事故での安全性を向上させるため、事故のコンピュータシミュレーションを利用する。このシミュレーションは、偏微分方程式を数値的に解くことを基本とする。
航空会社は、チケット価格設定、航空機や乗務員のスケジュール設定、燃料補給のスケジュール設定などに洗練された最適化アルゴリズムを利用する。この分野はオペレーションズ・リサーチとも呼ばれる。
数値解析は、コンピュータの発明以前から多くの国々で行われていた。線形補間は2000年以上前から行われている。重要な数値解析アルゴリズムには、ニュートン法、ラグランジュ補間、ガウスの消去法、オイラー法など、偉大な数学者の名前が冠せられている。そこから判るとおり、歴史上の偉大な数学者の多くは数値解析に夢中だった。
計算を手で行うため、方程式と数表を掲載した分厚い書籍が生み出された。関数の小数点以下16桁まで計算された数表を使って、与えられた方程式にその値をはめ込んで、関数の非常に正確な近似値を得ることができた。この分野での正統的な業績としては、Abramowitz と Stegun が編集したNISTの書籍がある。これは1000ページを超えるもので、典型的な方程式や関数の数表を多数集めている。コンピュータが利用可能になると、関数の数表はあまり役に立たなくなったが、方程式を多数集めているという点では便利である。
機械式計算機も計算ツールとして開発された。そのような計算機が1940年代に電子式コンピュータへと進化し、コンピュータは数値解析以外にも使えることが明らかとなっていった。しかし、コンピュータの発明は数値解析を目的としていたことは間違いなく、その後はさらに複雑な計算が行えるようになった。
直接解法は、問題の解を有限個のステップで計算する。その解は、演算精度が無限ならば正確である。例えば、線型方程式系を解くガウスの消去法やQR分解、線形計画問題のシンプレックス法などがある。実際には有限な浮動小数点数が使われるため、得られる解は近似値となる。
これに対して反復解法は一定のステップ数で完了するとは限らない。ある初期予測値から開始して、反復的に計算を行って徐々に解に収束させていく。一般にこの場合、たとえ無限の精度で計算したとしても、有限回の反復では正確な解にたどり着くことはない。例としては、ニュートン法、二分法、ヤコビ法などがある。数値行列代数の大きな問題の計算には反復解法が一般に必要とされる。
数値解析では、反復解法が直接解法よりも一般的である。いくつかの手法は基本的には直接解法だが、そうでないかのように使うことも多い。例えば、GMRES法 や共役勾配法がある。これらの技法では厳密解を得るのに必要なステップ数は膨大となるため、反復解法と同様に近似解を利用する。
さらに、連続問題を近似的に離散問題に変換して解くことも必要となる。この変換過程を「離散化（discretization）」という。例えば、微分方程式を解く場合が挙げられる。微分方程式を数値的に解くには、有限長のデータでなければならず、定義域が連続であっても、そこから有限個の点を選んで値を計算する。
このような誤差の研究から数値的安定性の概念が生まれた。あるアルゴリズムが数値的に安定であるとは、誤差が発生したときに計算によってその誤差があまりにも大きくならないことを意味する。これは問題が良条件の場合のみ可能である。良条件とは、データが少しだけ変化したとき、解も少しだけ変化するような性質を持つことを意味する。逆に問題が悪条件であれば、データに含まれる誤差は大きく成長する。
微分方程式: ある部屋で一方からもう一方へ空気が流れるように100個の扇風機を配置し、羽根をそこに落としてみる。何が起きるだろうか? 羽根は空気の流れに従って漂うが、非常に複雑な動きになるかもしれない。その近似としては、羽根が漂っている付近の空気の速度を1秒おきに測定し、シミュレートされた羽根が1秒間は測定された方向にその速度で進むと仮定する。このような手法をオイラー法と呼び、常微分方程式を解くのに使われる。
最も単純な問題は、関数のある点での値を求めることである。単に数式に値を当てはめるような直接的な手法は、時には効率的ではない。多項式の場合、ホーナー法を使うことで乗算と加算の回数を減らすことができる。一般に、浮動小数点演算を使うことで生じる丸め誤差を予測して制御することが重要となる。
補間が役立つのは、ある未知の関数のいくつかの点の値があるとき、それら以外の中間点でのその関数の値を求める場合である。単純な手法としては線形補間があり、既知の点の間で関数が線形に変化するとみなすものである。これを一般化した多項式補間はもっと正確となることが多いが、ルンゲ現象に悩まされることもある。その他の補間手法としてはスプラインやウェーブレットといった局所化関数を使うものがある。
回帰も類似した手法だが、既存のデータが不正確であることを考慮する。いくつかの点とその値があり、それらデータが誤差を含みつつ何らかの関数にしたがっているとして、その未知の関数を決定する。このための手法としては最小二乗法が良く知られている。
線型方程式系を解く手法については研究が進んでいる。標準的な直接解法としては何らかの行列分解を使うものがあり、ガウスの消去法、LU分解、対称行列やエルミート行列に関するコレスキー分解、非正方行列に関するQR分解がある。反復解法としては、ヤコビ法、ガウス＝ザイデル法、SOR法、共役勾配法があり、大きな方程式系でよく使われる。
非線形方程式については根の探索法が使われる（根とは、関数がゼロとなる変数の値を意味する）。関数が可微分で導関数がわかっているなら、ニュートン法が一般に採用される。非線形の方程式を解く技法としては、線形化もある。
最適化問題はさらに、関数や制約の形式によっていくつかに分類される。例えば、線形計画問題は関数と制約が共に線形である場合を扱う。線形計画問題の主な解法としてシンプレックス法がある。
数値積分（数値的求積法）は、定積分の値を求めるものである。一般的手法としては、ニュートン・コーツの公式を使った手法（中点法やシンプソンの公式）やガウスの求積法がある。これらは分割統治戦略に基づくもので、大きな集合についての積分を小さな集合の積分に分割して値を求めていく。高次元になるとこれらの手法は計算の手間があまりにも膨大となるため、モンテカルロ法などが使われることもあるし、適度に高次元の場合はスパース・グリッドの手法が使われる。
偏微分方程式を解くには、まず方程式を離散化し、有限次元の部分空間に持ってくる。そのような手法としては、有限要素法、差分法、特に工学分野で使われる有限体積法がある。これらの手法の理論的裏づけは関数解析学の定理などによる。これにより、問題を代数的等式を解く問題に還元できる。
最適化問題 - 極値、ラグランジュの未定乗数法、線形計画問題、線形計画法、シンプレックス法、最急降下法、共役勾配法、メタヒューリスティクス、焼きなまし法、遺伝的アルゴリズム
常微分方程式 - ルンゲ＝クッタ法、オイラー法、シンプレクティック法、シンメトリック法、陰解法（後方差分法、台形法、セミインプリシット法）、陽解法（前方差分法、リープフロッグ法）、繰返し法（松野法、変形松野法、リープフロッグ・台形法、リープフロッグ・後方差分法）、グラッグ法（リチャードソン補外），全保存型数値積分法（TCI）


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